证明线面垂直的方法有多种，其中利用定义、判定定理和面面垂直的性质是最基本且重要的方法。然而，有时这些方法可能不适用或证明起来困难。在这种情况下，建立空间坐标系并使用空间向量法可能会带来新的启示。
通过建立空间坐标系，我们可以将线和面表示为向量的形式，并利用向量的性质进行推导。例如，我们可以将线表示为两个点的向量差，将面表示为法向量的形式。然后，我们可以利用向量的点积或叉积来判断线和面是否垂直。
使用空间向量法的一个优势是可以将线面垂直的问题转化为向量之间的关系，从而简化证明过程。通过对向量的运算和性质进行分析，我们可以得出结论。
总之，建立空间坐标系并使用空间向量法是一种有效的方法，可以在证明线面垂直时提供新的思路和解决方案。
（1）根据定义，当一条直线与一个平面内的所有直线都垂直时，我们称这条直线与该平面互相垂直，记作直线⊥平面。直线被称为平面的垂线，而平面被称为直线的垂面。在图中，当直线与平面垂直时，它们有一个唯一的公共点P，我们称之为垂足。
符号表示：对于任意集合a是α的子集，如果直线l与a垂直，则直线l也与α垂直。
（2）根据判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。
给定条件：a?α，b?α，a∩b=P，l⊥a，l⊥b。
我们要证明的结论是：β∥α。
根据给定条件，我们可以得到以下信息：
1. a和b都是α的子集，即a和b都包含在α中。
2. a和b的交集是P，即a和b共有的元素是P。
3. l与a垂直，即l与a的所有元素都垂直。
4. l与b垂直，即l与b的所有元素都垂直。
我们需要证明的是β∥α，即β与α平行。
假设β与α不平行，即β与α有交点。我们可以找到一个点Q，使得Q既在β上，又在α上。
由于a?α，所以Q也在a上。由于l⊥a，所以Q也在l上。
同样地，由于b?α，所以Q也在b上。由于l⊥b，所以Q也在l上。
因此，Q既在l上，又在β上，这与β与α有交点的假设相矛盾。
因此，我们可以得出结论：β∥α。
（3）利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么它们的交线与其中一个平面垂直。
（4）空间向量法：通过证明直线的向量与平面的法向量平行，可以推断该直线与平面垂直。
在空间中，我们可以用向量来表示直线和平面。对于一条直线，我们可以选择其中两个不重合的点作为起点和终点，然后用这两个点的坐标差来表示直线的向量。对于一个平面，我们可以选择其中三个不共线的点，然后用这三个点的坐标差的叉积来表示平面的法向量。
现在假设直线的向量与平面的法向量平行，我们可以用向量的点乘来判断它们是否平行。设直线的向量为a，平面的法向量为n，则有a·n=0。这是因为向量的点乘等于两个向量的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而平行的向量的夹角的余弦值为0。因此，如果直线的向量与平面的法向量平行，那么它们的点乘结果为0。
根据向量的点乘性质，我们可以得出结论：如果直线的向量与平面的法向量平行，那么直线与平面垂直。这是因为两个向量平行意味着它们的夹角为0度或180度，而直线与平面垂直意味着它们的夹角为90度。因此，通过证明直线的向量与平面的法向量平行，我们可以推断该直线与平面垂直。
要用空间向量法证明线面垂直，可以按照以下步骤进行：
步骤1：确定线和面的向量表示。设线的向量表示为向量a，面的法向量表示为向量n。
步骤2：计算线的方向向量。线的方向向量可以通过两点法或参数方程法得到。如果已知线上两点***和B的坐标，可以计算出线的方向向量为向量***B。
步骤3：计算线和面的点积。将线的方向向量与面的法向量进行点积运算，得到一个标量值。
步骤4：判断点积结果。如果线和面的点积结果为0，则可以证明线和面垂直。因为点积为0表示两个向量垂直。
步骤5：解释结果。根据点积结果，可以得出结论：线和面垂直。
通过以上步骤，可以用空间向量法证明线和面的垂直关系。
①建立空间直角坐标系
将相关直线的方向向量用坐标表示是一种常见的数学表达方式。假设我们有一条直线L，其方向向量可以用一个有序数对(x, y)来表示。其中，x表示直线在x轴上的方向，y表示直线在y轴上的方向。
通过这种方式，我们可以用坐标系来描述直线的方向。例如，如果直线L的方向向量为(2, 3)，那么我们可以说直线L在x轴上的方向为2，即向右移动2个单位；在y轴上的方向为3，即向上移动3个单位。
同样地，如果直线L的方向向量为(-1, 4)，那么我们可以说直线L在x轴上的方向为-1，即向左移动1个单位；在y轴上的方向为4，即向上移动4个单位。
通过将直线的方向向量用坐标表示，我们可以更直观地理解直线的方向，并进行相关的计算和分析。
③给定平面内两条相交直线，我们可以通过求解它们的方向向量来表示它们的方向。假设直线L1和直线L2相交于点P，我们可以选择以P为起点，沿着L1和L2的方向分别取两个不同的点Q1和Q2。然后，我们可以计算向量PQ1和向量PQ2，它们分别是直线L1和直线L2的方向向量。
另一方面，如果我们想求解平面的法向量，我们可以利用平面上的三个非共线点P1、P2和P3。我们可以选择以P1为起点，分别计算向量P1P2和向量P1P3。然后，我们可以通过计算这两个向量的叉积来得到平面的法向量。
④分别计算所给直线与以上两相交直线的数量积，结果均为0；或判断直线的方向向量与平面的法向量平行。
另外，还有：
（5）如果一条平行于另一条直线的直线垂直于一个平面，那么另一条直线也与这个平面垂直。
（6）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面。
利用判定定理和面面垂直的性质是在几何学中常用的方法之一。判定定理是指通过已知的几何条件来判断一个几何图形的性质或关系。而面面垂直的性质是指两个平面相互垂直，即两个平面的法线向量互相垂直。
在几何证明中，我们可以利用判定定理来推导出一些结论。例如，如果我们已知一个三角形的三个边长，我们可以利用判定定理来判断这个三角形是否为等边三角形。又如，如果我们已知一个四边形的对角线互相垂直，我们可以利用判定定理来判断这个四边形是否为正方形。
另外，面面垂直的性质也是几何证明中常用的方法之一。当我们需要证明两个平面相互垂直时，我们可以利用面面垂直的性质来推导出结论。例如，如果我们已知一个平面上的直线与另一个平面上的直线垂直，我们可以利用面面垂直的性质来证明这两个平面相互垂直。
总之，利用判定定理和面面垂直的性质可以帮助我们在几何学中进行证明和推导，从而更好地理解和应用几何学的知识。
例1、（2019秋?赣州期末）在矩形***BCD中，***B＝1，BC＝2，E为***D的中点，如图1所示。现在我们将△***BE沿着BE边折叠，使得点***到达点P的位置，如图2所示。同时，我们要求平面PBE与平面BCDE垂直。
（1）证明：PB⊥平面PEC；
设平面PEC上任意一点为Q，连接QB。要证明PB⊥平面PEC，即证明向量PB与平面PEC上的任意向量都垂直。
由于P、E、C三点共面，所以向量PE和向量PC线性相关，即存在实数k，使得向量PE=k向量PC。设向量PE=k向量PC，则向量PB=向量PE+向量EB=k向量PC+向量EB。
现在我们来证明向量PB与平面PEC上的任意向量都垂直。设平面PEC上的任意向量为向量V，我们需要证明向量PB·向量V=0，即向量PB与向量V的点积为0。
由向量PB=向量PE+向量EB=k向量PC+向量EB，可以得到向量PB·向量V=(k向量PC+向量EB)·向量V=k(向量PC·向量V)+向量EB·向量V。
由于向量PC和向量V在平面PEC上，所以向量PC·向量V=0，即向量PB·向量V=k(向量PC·向量V)+向量EB·向量V=0+向量EB·向量V=向量EB·向量V。
由于向量EB与平面PEC上的任意向量都垂直，所以向量EB·向量V=0，即向量PB·向量V=0。
因此，向量PB与平面PEC上的任意向量都垂直，即PB⊥平面PEC。
设三棱锥M-CDN的底面为△CDN，底面边长为a，高为h。
由于M为PB的中点，N为PC的中点，所以M和N分别是△***BC的中点。
根据中点定理，***M=MB=BC/2，***N=NC=***C/2。
由于△***BC和△CDN是相似三角形，所以它们的对应边长之比相等，即CD/BC=DN/***M。
由于M为PB的中点，所以***M=MB=BC/2，代入上式得CD/BC=DN/(BC/2)。
化简得CD=2DN。
由于M为PB的中点，所以PM=MB=BC/2，代入△PMB的面积公式得△PMB=1/2 * PM * BC/2=1/4 * BC * PM。
由于N为PC的中点，所以PN=NC=***C/2，代入△PNC的面积公式得△PNC=1/2 * PN * ***C/2=1/4 * ***C * PN。
由于△PMB和△PNC的底边分别是BC和***C，高分别是PM和PN，所以它们的面积相等，即△PMB=△PNC。
所以△PMB=△PNC=1/4 * BC * PM=1/4 * ***C * PN。
由于三棱锥M-CDN的体积等于底面积乘以高的1/3，所以三棱锥M-CDN的体积为V=1/3 * △CDN * h。
由于△CDN和△PNC是相似三角形，所以它们的对应边长之比相等，即CD/***C=DN/PN。
由于CD=2DN，所以CD/***C=2DN/PN=2。
由于△CDN和△PNC的底边分别是CD和***C，高分别是DN和PN，所以它们的面积之比等于底边长之比乘以高之比，即△CDN/△PNC=(CD/***C)*(DN/PN)=2*2=4。
所以△CDN=4*△PNC=4*(1/4 * ***C * PN)=***C * PN。
将△CDN和h代入三棱锥M-CDN的体积公式得V=1/3 * (***C * PN) * h=1/3 * △PNC * h。
由于△PNC=1/4 * ***C * PN，所以V=1/3 * (1/4 * ***C * PN) * h=1/12 * ***C * PN * h。
由于△PNC=1/4 * ***C * PN，所以V=1/3 * (1/4 * ***C * PN) * h=1/12 * ***C * PN * h。
所以三棱锥M-CDN的体积为V=1/12 * ***C * PN * h。
空间向量法：
如图所示，正三棱柱***BC-***1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点。我们需要证明***B1⊥***1BD。
首先，连接***1D和B1D。
由于D为CC1的中点，所以DD1⊥CC1，即DD1垂直于底面***BC-***1B1C1。
又因为正三棱柱***BC-***1B1C1的底面是一个等边三角形，所以***B=BC=C***=2。
根据等边三角形的性质，***B1⊥CC1，即***B1垂直于底面***BC-***1B1C1。
又因为***1D和B1D都是底面***BC-***1B1C1上的线段，且DD1垂直于底面***BC-***1B1C1，所以***1D⊥DD1，B1D⊥DD1。
综上所述，***B1⊥***1BD成立。
当然我们也可以找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量，分别计算所求直线与这两条相交直线向量的数量积，若数量积都为0，则说明线面垂直。同学们可以亲自尝试一下，来证明这个结论。
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