数学教学案例分析100例,小学数学教学案例分析100例!

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一、“米勒问题”及相关结论

1471年,德国数学家米勒提出了一个有 趣的问题:在地球表面什么部位, 一根垂直的 悬杆呈现最长?即在什么部位,视角最大?由 于该问题有德国数学家米勒提出,因此最大视角问题又称之为“米勒问题”

米勒问题 如图1,已知***,B是平面内两个定点,C是直线l上一个动点,当C在何处时,∠***CB最大?

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图1

米勒问题结论 作△***BC的外接圆O,当圆O 与直线l刚好相切于点C时,∠***CB最大.

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图2

米勒问题证明 如图2,△***BC的外接圆O与直线l相切,C为切点.假设C'为直线l上异于点 C的任意一点,连结***C',BC'﹒设***C' 与圆O的交点为D,连结BD,则∠***DB= ∠***CB.又因 为∠***DB>∠***C'B,所以∠***CB>∠***C'B, 即∠***CB为最大角.

米勒问题评注 如图3,连结B***并延长,交直线l于点P,△***BC的外接圆与直线l相切于点C, 则由切割线定理,可得PC2= P*** ·PB.由此可由P***,PB的长度来确定点C的位置.

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图3

二、米勒问题在中考题中的应用

1.解决最大张角问题

例1 如图4,顶点为M的抛物线y=αx2+bx+3与x轴交于 ***(-1,0),B两点,与y轴交于点C,过点C作 CD⊥y轴交抛物线于另 一个点D,作DE⊥x轴,垂足为点E.双曲线y=6/x,(x>0) 经过点D,连结MD,BD .

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图4

(1)求抛物线的解析式;

(2)点N,F分别是x轴,y轴上的两点,当 M,D,N,F为顶点的四边形周长最小时,求出点N,F的坐标;

(3)动点P从点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动,运动时间为t秒,

当t为何值时,∠BPD的度数最大?(请直接写 出结果)

例1简析 (1)由***(- 1,0),D(2,3),易求抛 物线解析式为y= – x2+2x+3 .

( 3 ) 方法1 找切点,用半径

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图5

如图5,作△PBD的外接圆G,连结DG, BG,PG,则由“米勒问题”,可知当圆G与y轴相切于点P时,∠BPD的度数最大.

设P(0,t),圆G的半径为r,则有

GB = GD = r, G(r,t).

由B(3,0), D(2,3)以及两点间距离公 式,可得

(r-2)2 +(t-3)2=r2 , (r-3)2 +(t-0)2=r2

解得 t1= 9 – 2√15 , t2 = 9+ 2√1 5 ( 舍去)

∴当t=9-2√15时,∠BPD的度数最大.

例1方法1评析 本题第(3)问是米勒的最大张角问题,只有熟悉了“米勒问题”的隐圆模型,学生才能快速找到解题思路,从而破解难点.

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图6

例1方法2 利用切割线定理

如图6,延长BD交y轴于点H,则当P为 △PBD的外接圆与y轴的切点时,∠BPD的度数最大 .

由切割线定理,可得HP2= HD · HB.

易求直线BD的解析式为y= – 3x+9, ∴H点坐标为(0,9).

由此可求得HD=2√10,HB=3√10, ∴HP=√(HD ·HB) =2√15,

∴t=9-2√15

例1方法2评析 本解法是建立在熟悉“米勒问题” 的隐圆模型基础上,明确P即为△PBD的外接圆与y轴切点,从而联想到切割线定理,求得HP的长,进而求得P点坐标.

2.解决角的存在唯一性问题

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图7

例2 如图7,在直角坐标系中,四边形O***BC是平行四边形,经 过***(-2,0),B,C三点的抛物线y =ax2+bx+8/3,(a<0),与x轴的另一个交点为D,其 顶点为M,对称轴与x轴交于点E.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式;

(2)已知R是抛物线上的点,使得△***DR的面积是平行四边形O***BC的面积的3/4,求点R的坐标;

(3)已知P是抛物线对称轴上的点,满足在直线MD上存在唯一的点Q,使得∠PQE = 45°,求点P的坐标.

例2简析

(1)易求抛物线对应的函数表达式为y=-x2/3+2x/3+8/3

(3)易得抛物线的对称轴x=1,D(4,0), M(1,3),

yDM =-x+4, ∠MDE=45° .

显然,当点Q与点D重合时,P在M点或 在M点关于x轴的对称点上时,∠PQE =45°, 且符合唯一性,即此时P点坐标为(1,3)或 (1,- 3).

如图8,当在直线DM上存在唯一的不与点D重合的点Q,使得∠PQE=45° 时,作△PQE 的外接圆G,则∠PGE=90°,且GQ⊥DM .

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图8

过点G作GF⊥ME于点F,交直线MD于点H,连结GP,则△GQH,△PEG和△MFH均 为等腰直角三角形.

设P点的坐标为(1,2m),则EF= FG = m,GQ=GP=√2m,GH=2m,

∴FH = 3m.

又MF = 3 – m , ∴3 – m = 3 m ,

解得m=3/4,∴P点坐标为(1,3/2)

综上,符合条件的P点有3个,分别是( 1, 3),(1,-3),(1,3/2)

例2评析 本题的第(3)问本质上仍是米勒 最大张角问题.由于本题条件的特殊性,因此需先考虑Q点的特殊位置,即点Q与点D重合时的情况.当点Q不是点D时,问题可转化为在直线MD上找点Q,使得∠PQE的最大值为45°,此时点Q符合唯一性.这样角的存在唯一 性问题就转化为“米勒”最大张角问题,从而可构造隐圆来解决.

............试读结束............

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